Cálculo Diferencial

CONTAMINACIÓN DEL AGUA

Es una modificación de esta, generalmente provocada por el ser humano, que la vuelve impropia o peligrosa para el consumo humano, la industria, la agricultura, la pesca y las actividades recreativas, así como para los animales.

Por su parte, es necesario recordar que el agua es uno de los elementos indispensables para la vida dentro del Planeta Tierra; ya que constituye el 75% de toda la superficie además de ser utilizada para una inmensa cantidad de fines. el agua es un elemento indispensable para la vida del ser humano, es necesario para mantener un equilibrio entre los   organismos y el ecosistema. si bien la contaminación del agua siempre ha existido ya sea por efectos naturales o por alguna consecuencia  hecha por los hombres hoy en día este problema ha aumentado gravemente desde el desarrollo de la primera revolución industrial, la contaminación del agua  así como la contaminación ambiental está cambiando nuestro entorno. Como es bien sabido el 97% del agua de la tierra es salada y el otro 3% es agua dulce que utilizamos para poder sobrevivir, de la cual el 68.7% se encuentran en los polos no congelada,  el 1.74% es agua congelada, el 30.1% es agua dulce subterránea de las cuales la mayoría no está accesible al consumo humano y sólo el 0.3% del agua superficial es la que podemos encontrar en lago ríos arroyos y humedales. Esto significa que la corteza terrestre podemos observar el 0.021% del agua total del planeta.

Por esta razón nosotros como equipo encontramos el modelo matemático que se relaciona con nuestra problemática que son las ecuaciones de Streeter-Phelps las cuales relacionan los dos principales mecanismos que definen el oxígeno disuelto (OD) en un cauce de agua que recibe la descarga de aguas residuales como son la descomposición de materia orgánica, y aireación del oxígeno.

Este modelo de disminución de oxígeno, predice los efectos de las descarga de material orgánico biodegradable sobre el oxígeno disuelto de un río o corriente de agua. Las ecuaciones se centran en determinar cuáles son las condiciones más desfavorables que producen el valor más alto de déficit de oxígeno.

Una de las ecuaciones nos ayuda a calcular el oxígeno disuelto que es la cantidad de oxígeno presente en al agua y se puede calcular con la siguiente ecuación:

D= (K^1  L^0)/K^2  (〖e^(-k)〗^1t+D^0  e^(〖-k〗^2t ) )

Dónde:

D(t):Es el déficit de oxígeno en el tiempo t(mg de O_2/L)

L^0: Demanda bioquímica de oxígeno inicial k^1=tasa de desoxigenación k^2=tasa de oxigenación 

D^0: Déficit de oxígeno inicial L^0, k^1,k^2 

D^0: Son constantes que se obtienen por medidas de laboratorio y dependen de la temperatura, carga contaminante y condiciones hidráulicas

t: Tiempo (hrs)  después del vertido de aguas residuales

Otra ecuación es la curva SAG, lo que hace es sumar el efecto de oxigenación y la reaireación lo que permite ver la variación de déficit de oxígeno en el tiempo.

dD/dt= k^1 L+ k^2 D^2

Dónde:

L: Concentración de materia orgánica dada por la demanda de oxígeno

k^1:Coeficiente de desoxigenación

k^2:Coeficiente de reaireación

D^0: Déficit de oxígeno suelto

Una ecuación más es para calcular la demanda de oxígeno que es la cantidad de oxígeno consumido por las sustancias o microorganismos en cierta cantidad de tiempo, la cual es la siguiente:

L=L^0 e^(-kt)

Dónde

L^0: Concentración inicial de la materia orgánica

k^1:Coeficiente desoxigenación

t: Tiempo en hrs

Tomando en cuenta la función para calcular oxígeno disuelto, determinar los tiempos críticos t después de vertido en que D(t) es máximo o mínimo y su valor en el siguiente caso:

D^0=6.5     k^1=0.3     k^2=0.4    L=0.4

D=(K^1  L^0)/K^2  (〖e^(-k)〗^1t+D^0  e^(〖-k〗^2t ) )

D=(0.3)(0.4)/0.4 (e^(-0.3t)+6.5 e^(-0.4t) )

D=3/10(e^(-(0.3)t)+6.5 e^ (-(0.4)t))

D=  3/10  e^(-(0.3)t)-13/5  e^(-(0.4)t) Función Objetiva

D´(t)=  3/10  e^(-0.3t) (0.3)-13/5 e^(-0.4t) (0.4)

D(t)=  9/100  e^(-0.3t)-26/25 e^(-0.4t)

D(t)=  9/100  e^(-0.3t)-26/25 e^(-0.4t)=0

D(t)=  9/100  e^(-0.3t) (e^0.3 )-26/25 e^(-0.4t) (e^0.3)=0

D(t)=  9/100  e^0t-26/25 e^(-0.1t)=0

D(t)=  9/100-26/25 e^(-0.12t)=0

D(t)=  26/25 e^(-0.12t)=9/100

D(t)=e^(-0.12t)=9/(100/(26/25))

D(t)=e^(-0.12t)=9/104

D(t)=In e^(-0.12t)=In  9/104

D(t)=-0.12t In e=In  9/104

D(t)=-0.12t(1) =In  9/104

D(t)=-0.12t=In  9/104

D(t)= t=In (9/(104/(-0.12)))

D(t)= t=20.39 Punto Crítico

D´´(t)=  9/100  e^(-(0.3)t) (0.3)-26/25 e^(-(0.4)t) (0.4)

D´´(t)=  27/1000  e^(-0.3t)-52/125 e^(-0.4t)

D´´(t)=  27/1000  e^(-(0.3)(20.39))-39/125 e^(-(0.4)(20.39))

=-3.00<0 Máximo